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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

11. Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung

verfasst von : Norbert Steinmetz

Erschienen in: Analysis

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die gewöhnlichen Differentialgleichungen werden von den elementaren Integrationsmethoden über die grundlegenden Existenz- und Eindeutigkeitssätze von Peano, Picard-Lindelöf und Cauchy bis zu den Sätzen über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von Parametern und Anfangswerten behandelt. Ein Novum wohl selbst für Textbücher über gewöhnliche Differentialgleichung ist der Nachweis von Potenzreihenlösungen bei entsprechenden rechten Seiten mit Hilfe eines Satzes von Bernstein.

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Fußnoten
1
Sonst würde es sich um partielle Differentialgleichungen handeln, die ebenfalls schon aufgetreten sind in Form der Laplacegleichung \(\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0\) für \(u=u(x,y)\) und der Wärmeleitungsgleichung \(u_t=c^2\Delta u\) für \(u=u(t,x,y)\).
 
2
Aber nicht immer: Die Lösungen von \(x'=(t-x)^2\) sind alle monoton wachsend, die Nullkline ist die erste Winkelhalbierende
 
3
Nur den lohnt es sich zu merken.
 
4
Man nennt den Lösungsvorgang bei Differentialgleichungen auch Integration, weil dabei zumeist Stammfunktionen zu bestimmen sind.
 
5
In der Literatur findet man auch die Bezeichnung exakte Differentialgleichung für (11.11), geschrieben als \(q(x,y)\,dx-p(x,y)\,dy=0\). Die Sprechweise kommt daher: Die Differentialform \(\omega =q(x,y)\,dx-p(x,y)\,dy\) heißt exakt, wenn sie die Integrabilitätsbedingung \(\mathrm{div\,}(q,p)^\top =p_y+q_x=0\) erfüllt, und geschlossen, wenn \(\int _\gamma \omega =\int _\gamma p\,dx-q\,dy=0\) ist für jeden geschlossenen Integrationsweg im Definitionsgebiet D. Im ersten Fall gibt es eine lokale Stammform, \(\omega =dH\), und eine globale im zweiten Fall.
 
6
Diese Norm ist dem Autor aus seiner eigenen Anfängervorlesung vertraut, sie scheint aber nicht so weit verbreitet zu sein wie sie es verdient.
 
7
Im Detail: Ist \([\beta -\sigma ,\beta +\sigma ]\times \overline{K(\xi ^*,R)}\subset G\), gilt dort \(|\mathfrak {f}(t,\mathfrak {x})|\le M\), wird \(2\delta =\min \{\sigma ,R/M\}\) gesetzt und nimmt man \(|t_k-\beta |<\sigma /2\) und \(|\xi _k-\xi ^*|<R/2\) an, so existiert die Lösung sicherlich in \([t_k,t_k+\delta ]\).
 
Metadaten
Titel
Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung
verfasst von
Norbert Steinmetz
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis

Print ISBN: 978-3-662-68085-8

Electronic ISBN: 978-3-662-68086-5

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68086-5_11

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