11. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Ein mathematischer Beweis ist eine Argumentationskette, durch welche die zu beweisende Aussage (der zu beweisende Satz) in mehr oder weniger formalisierter Form als richtig (bzw. gültig) nachgewiesen wird. In Abhängigkeit von der zu beweisenden Aussage kann die jeweilige Beweistechnik, die in irgendeiner Form immer auf der mathematischen Logik beruht, sehr unterschiedlich ausfallen. In diesem Kapitel wird die Beweistechnik der vollständigen Induktion ausführlich behandelt. Sie basiert auf der Konstruktion der natürlichen Zahlen „aus dem Nichts“ entsprechend dem Axiomensystem von G. Peano, auf das zunächst eingegangen wird. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion wird dann sehr ausführlich an verschiedenartigen Beispielen erläutert und demonstriert: an typischen Beispielen, an „nicht so ganz typischen“ Beispielen, an Zahlenmustern, an Beispielen im Zusammenhang mit Mengen, an Beispielen aus der Geometrie. Auf die Möglichkeit der Definition durch vollständige Induktion und auf die vollständige Induktion im Zusammenhang mit anderen Beweistechniken (Schubfachprinzip, Wohlordnungssatz) wird eingegangen. Scheinbeweise, Lustiges und Merkwürdiges und ein frühes, auf den Rabbiner Levi Ben Gershon (Gersonides, 1288–1344) zurückgehendes, historisches Beispiel zur vollständigen Induktion runden die Darstellung ab. Schließlich wird die Frage untersucht: Muss es immer vollständige Induktion sein? An zwei einschlägigen Beispielen wird aufgezeigt, dass es manchmal auch intuitivere alternative Methoden der Erkenntnisgewinnung gibt.