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Erschienen in:
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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

13. Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen

verfasst von : Norbert Henze

Erschienen in: Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Mit diesem Kapitel wird der endlichdimensionale Rahmen verlassen, denn es geht um Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel’schen sigma-Algebra in allgemeinen metrischen Räumen. Zunächst wird anhand des uniformen empirischen Prozesses sowie eines Partialsummenprozesses motiviert, warum es sich lohnt, Wahrscheinlichkeitsmaße in dieser Allgemeinheit zu studieren. Nach einem Abriss über metrische Räume und deren wichtigste Eigenschaften liegt ein Hauptaugenmerk auf dem mit der Supremumsmetrik versehenen Raum C[0,1] aller auf dem Einheitsintervall definierten stetigen Funktionen. Der Satz von Arzelá-Ascoli charakterisiert relativ kompakte Teilmengen in diesem metrischen Raum. Das Kapitel schließt mit der Einführung der Algebra der endlichdimensionalen Mengen in C[0,1], die ein Erzeugendensystem der sigma-Algebra der Borelmengen in C[0,1] bildet.

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Fußnoten
1
René Louis Baire (1874–1932), französischer Mathematiker. Baire gilt als Begründer der modernen Theorie reeller Funktionen.
 
2
Eduard Heine (1821–1881), Professor in Bonn (ab 1848) und in Halle (ab 1856). Hauptarbeitsgebiete: Reelle Analysis, trigonometrische Reihen.
 
3
Norbert Wiener (1894–1964), US-amerikanischer Mathematiker und Philosoph, Promotion 1912 (als achtzehnjähriger!) in mathematischer Logik. Wiener ist als Begründer der Kybernetik bekannt; er schuf damit die Grundlagen für die Kontrolltheorie und die Regelungstechnik. Nach ihm benannt sind u. a. der Wiener-Prozess, der Wiener-Filter, das Wiener–Chintschin-Theorem und der Satz von Paley–Wiener–Zygmund.
 
4
Robert Brown (1773–1858), schottischer Mediziner und Botaniker, 1810 Fellow der Royal Society sowie 1849 bis 1853 Präsident der Linnean Society. Brown beobachtete 1827, dass Blütenpollen in einer Flüssigkeit scheinbar völlig erratische „stochastische“ Bewegungen ausführten.
 
5
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897), 1842–1855 Tätigkeit als Lehrer, 1856–1864 Professor am Gewerbeinstitut in Berlin, ab 1864 o. Prof. an der Universität Berlin. W. beeinflusste die Mathematikentwicklung in bedeutendem Maße („Weierstraß’sche Schule“). Hauptarbeitsgebiete: Funktionentheorie, Algebra.
 
6
Cesare Arzelà (1847–1912), italienischer Mathematiker. Hauptarbeitsgebiet: Reelle Funktionen.
 
7
Guido Ascoli (1887–1957), italienischer Mathematiker, nach langjähriger Tätigkeit als Lehrer Professor an verschiedenen italienischen Universitäten. Hauptarbeitsgebiet: Partielle Differentialgleichungen.
 
Metadaten
Titel
Wahrscheinlichkeitsmaße auf metrischen Räumen
verfasst von
Norbert Henze
Copyright-Jahr
2024
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Asymptotische Stochastik: Eine Einführung mit Blick auf die Statistik

Print ISBN: 978-3-662-68445-0

Electronic ISBN: 978-3-662-68446-7

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68446-7_13