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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Quantifier Elimination

verfasst von : David Marker

Erschienen in: An Invitation to Mathematical Logic

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

A test for eliminating quantifiers is given and applied it to further study the model theory of algebraically closed fields.

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Fußnoten
1
This phenomena should also be familiar from calculus. Part of the problem understanding the \(\epsilon \)-\(\delta \) definition of a limit is understanding the \(\forall \exists \forall \) alternation of quantifiers
$$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to a}f(x)=b \Leftrightarrow \forall \epsilon>0\ \exists \delta>0\ \forall x \ \left[|x-a|<\delta\rightarrow |f(x)-b|<\epsilon\right.]\end{aligned}$$
 
2
A Boolean combination of formulas is a formula build from the original formulas using only \(\land , \lor \) and \(\neg \). A Boolean combination of sets is obtained from the original sets by taking finite unions, finite intersections, and complements.
 
3
Of course, in \(G^2\) there are definable sets which are not definable in the pure language of equality.
 
4
For example, the theory of the real field in the language of rings does not have quantifier elimination, but is model complete. See Exercises 8.​33 and 8.​35.
 
Literatur
16.
van den Dries, L.: Some applications of a model theoretic fact to (semi-) algebraic geometry. Indag. Math. 4, 397–401 (1982)MathSciNetCrossRef
17.
van den Dries, L.: Tame Topology and o-minimal Structures. Cambridge University Press, Cambridge (1998)CrossRef
20.
Enderton, H.: A Mathematical Introduction to Logic, 2nd edn. Harcourt/Academic Press, Burlington (2001)
53.
58.
Lang, S.: Algebra. Addison-Wesley, Reading (1971)
63.
Marker, D.: Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics, 217. Springer, New York (2002)
80.
Robinson, A.: Model theory as a framework for algebra. In: Studies in Model Theory, pp. 134–157. MAA Studies in Mathematics, vol. 8. Mathematical Association of America, Buffalo (1973)
92.
Shoenfield, J.: A theorem on quantifier elimination. In: 1971 Symposia Mathematica, vol. V (INDAM, Rome, 1969/1970), pp. 173–176. Academic Press, London
Metadaten
Titel
Quantifier Elimination
verfasst von
David Marker
Copyright-Jahr
2024
Buch
An Invitation to Mathematical Logic

Print ISBN: 978-3-031-55367-7

Electronic ISBN: 978-3-031-55368-4

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-55368-4_7

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    Bildnachweise