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2024 | OriginalPaper | Buchkapitel

6. Ultraproducts

verfasst von : David Marker

Erschienen in: An Invitation to Mathematical Logic

Verlag: Springer Nature Switzerland

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Abstract

The ultraproduct construction is introduced and used to give an alternative proof of the Compactness Theorem.

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Fußnoten
1
On the other hand, ultraproduct methods are highly non-constructive and Henkin style arguments are useful in other more subtle constructions of models.
 
2
Here we make essential use of the Axiom of Choice. Of course, we also need the Axiom of Choice just to assert \(\prod M_i\ne \emptyset \)!
 
3
To see this, suppose, let \(\xi \) be a primitive 8\({ }^{\mathrm {th}}\)-root of 1. Let \(\alpha =\xi +\xi ^{-1}\). Show that \(\xi ^{-1}=-\xi \) and conclude that \(\alpha ^2=2\). Next show that \(\alpha ^p= \alpha \) if \(p\equiv \pm 1\ \mathrm {mod}\ 8\) and \(\alpha ^p\equiv \pm 3\ \mathrm {mod} 8\). Conclude that 2 is a square in \({\mathbb F}_p\) if and only if \(p\equiv \pm 1\ \mathrm {mod} \ 8.\)
 
Literatur
3.
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Billingsley, P.: Probability and Measure. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons, New York-Chichester-Brisbane (1979)
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Silverman, J.: The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer, Dordrecht (2009)
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Metadaten
Titel
Ultraproducts
verfasst von
David Marker
Copyright-Jahr
2024
Buch
An Invitation to Mathematical Logic

Print ISBN: 978-3-031-55367-7

Electronic ISBN: 978-3-031-55368-4

Copyright-Jahr: 2024

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-55368-4_6

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    Bildnachweise