7. Figurierte Fibonacci-Zahlen

Leonardo von Pisa (1170–1250), genannt Fibonacci, war einer der größten europäischen Mathematiker des Mittelalters. Er stellte in seinem berühmten Buch Liber Abaci im Jahre 1202 eine Aufgabe zur Kaninchenvermehrung vor, deren Lösung zu der (inzwischen als Fibonacci-Zahlen bezeichneten) Zahlenfolge 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...führte. Die Fibonacci-Zahlen gaben über die Jahrhunderte hinweg Anlass zu vielfältigen mathematischen Untersuchungen. Sie standen und stehen im Zentrum eines engen Beziehungsgeflechts mit anderen mathematischen und nichtmathematischen Themen wie z.B. Goldener Schnitt, Euklidischer Algorithmus, Kettenbrüche, exponentielles Wachstum, erzeugende Funktionen, Phyllotaxis usw. Die (rekursive) Definition der Fibonacci-Zahlen wird zunächst durch geeignete Beispiele (Treppensteigen, Pflasterungen) veranschaulicht. Es folgen weitere, zu interessanten algebraischen Gleichungen führende Veranschaulichungen, die ihrerseits wieder die Basis für eine Reihe optischer Tüuschungen bilden. Die konkrete numerische Berechnung der Fibonacci-Zahlen wird anhand unterschiedlicher Methoden dargestellt und besonders unter Effizienzgesichtspunkten diskutiert (rekursives Verfahren, iteratives Verfahren, Formel von Binet, Matrizenrechnung, Prinzip von Teile und Herrsche). Einige der Verfahren werden als Computeralgebra Programme formuliert und ausgewertet.