Ökonometrie

Wir starten unsere gemeinsame Reise durch die angewandte Ökonometrie mit den zwei grundlegenden Aufgaben 1.1 und 1.2. Ihre Bearbeitung erfordert noch keine Software-Kenntnisse. Anschließend beginnen wir uns mit der Software R und der zugehörigen Benutzeroberfläche RStudio vertraut zu machen. R und RStudio bilden gemeinsam unsere Arbeitsumgebung. Zunächst müssen wir diese Arbeitsumgebung einrichten.

In diesem Kapitel geht es inhaltlich um die Spezifikation ökonometrischer Modelle. Aufgabe 2.1 kommt dabei wieder ganz ohne R aus. Wir werden uns aber in diesem Kapitel weitere Grundkenntnisse für das Arbeiten mit R aneignen, die wir in den darauf folgenden Übungsaufgaben anwenden. Zunächst widmen wir uns der R-Box »Zusammenspiel wichtiger Fenster in RStudio « (S. 20). In Aufgabe 2.2 wenden wir dieses Wissen auf ein ökonometrisches Spezifikationsproblem an. Daran anschließend werden in Aufgabe 2.3 zunächst einige statistische Grundkonzepte wiederholt und dann in R umgesetzt.

Dieses Kapitel ist der Schätzung des ökonometrischen Modells gewidmet. Zunächst werden in den drei R-Boxen » Objektverwaltung « (S. 32), » Datentypen, Datenstrukturen und Objektklassen « (S. 32) und » Datenstrukturen I: Überblick « (S. 34) weitere Grundkenntnisse für das Arbeiten mit R vermittelt. Die ersten beiden dieser R-Boxen erläutern, wie R mit Zahlen und anderen Informationen umgeht. Die dritte R-Box beschäftigt sich damit, wie solche Informationen in Objekten gespeichert werden können. Dafür stehen in R vor allem fünf verschiedene Datenstrukturen zur Verfügung.

Ökonometrischer Themenschwerpunkt des Kapitels sind die qualitativen Eigenschaften von Schätzverfahren und dabei insbesondere die Vorteile der KQMethode. Wir setzen aber auch in diesem Kapitel unsere R-Einführung fort. Den Auftakt bildet die R-Box » Objektverarbeitung I: Funktionen«. Sie vermittelt die wichtigsten Aspekte zum Thema »Funktionen in R«. Direkt im Anschluss erklärt die R-Box » Hilfe! « wie man das in R eingebaute Hilfesystem sinnvoll nutzt. Das Erlernte wird in Aufgabe 4.1 sofort angewendet. In der R-Box »Auskommentierung« (S. 80) wird ein wichtiges Hilfsmittel für den flexiblen Umgang mit Skripten vorgestellt und in Aufgabe 4.2 umgesetzt.

Das ökonometrische Thema dieses Kapitels ist die Intervallschätzung. Gleichzeitig wird aber auch der Umgang mit R weiter vertieft. Neben den im letzten Kapitel vorgestellten Funktionen sind auch Operatoren ein wichtiges Werkzeug, um in R Objekte zu verarbeiten. Solche Operatoren werden in der gleich anschließenden R-Box » Objektverarbeitung II: Operatoren « vorgestellt. In den Aufgaben 5.1 und 5.2 werden einige dieser Operatoren im Kontext der Intervallschätzer verwendet. Wie man in R eigene Funktionen definiert, wird in der R-Box » Definition eigener Funktionen« (S. 95) erläutert

Viele Hypothesen können mit t-Tests überprüft werden. Das Kapitel ist ausschließlich diesen t-Tests gewidmet. Aufgabe 6.1 führt einen solchen Test mit Hilfe der bereits bekannten R-Befehle durch. In der R-Box » t-Test: Testen einzelner Parameter « (S. 109) wird ein neuer R-Befehl erläutert, mit dessen Hilfe t-Tests noch einfacher durchgeführt werden können. Angewendet wird dieser Befehl in den Aufgaben 6.2 bis 6.4.

Das Kapitel ist den Prognosen gewidmet. In Aufgabe 7.1 werden zunächst der Zusammenhang und die Unterschiede zwischen Prognoseintervallen und den beiden anderen bislang behandelten Intervallkonzepten (Konfidenz- und Akzeptanzintervalle) thematisiert. In der anschließenden R-Box »Punktprognose und Prognoseintervall « (S. 118) wird die für Punktprognosen konzipierte Funktion ols.predict() des Pakets desk vorgestellt. Die Berechnung von Punktprognosen und Prognoseintervallen wird in Aufgabe 7.2 geübt und in der Simulationsaufgabe 7.3 weiter vertieft. Die anschließende R-Box »Grafiken für Einfachregressionen « (S. 125) stellt ein speziell für die Einfachregression entworfenes grafisches Hilfsmittel vor. Dieses wird in Aufgabe 7.4 gleich ausprobiert. Den Abschluss des Kapitels bildet Aufgabe 7.5. Sie wendet die vier Hauptaufgaben der Ökonometrie (Spezifikation, Schätzung,

Bislang haben wir uns auf Modelle mit einer einzigen exogenen Variablen beschränkt. In diesem Kapitel lassen wir erstmals mehrere exogene Variablen in unserem Regressionsmodell zu. Wir vollziehen also den Übergang von der Einfachregression (K = 1) zur Mehrfachregression (K > 1). Auch in der Mehrfachregression bildet die Spezifikation des ökonometrischen Modells den ersten Schritt. Die erste Übungsaufgabe dieses Kapitels widmet sich deshalb der Frage, inwieweit sich die im Lehrbuch beschriebenen A-, B- und C-Annahmen der Mehrfachregression von denen der Einfachregression unterscheiden. In der sich direkt anschließenden Aufgabe 8.2 wird das Dünger-Beispiel des Lehrbuches vorgestellt. Die R-Box » Zufallsstichproben « (S. 130) erläutert eine weitere Möglichkeit, mit R eigene Zufallswerte zu erzeugen. Ausprobiert wird diese Möglichkeit in Aufgabe 8.3.

In diesem Kapitel geht es um die konkrete Durchführung und Analyse der linearen Mehrfachregression in R. Dabei werden wir uns neben der Schätzung insbesondere den Begriffen »autonome Komponente«, »autonome Variation « und » partielles Bestimmtheitsmaß« zuwenden. In der untenstehenden R-Box »KQ-Schätzung des multiplen Regressionsmodells « erläutern wir zunächst, wie eine Mehrfachregression in die Formelschreibweise von R übertragen wird, stellen dann das Argument data der ols()-Funktion vor und gehen zum Schluss auf zwei Besonderheiten der ols()-Funktion ein. Angewendet werden die neuen Erkenntnisse in den Aufgaben 9.1 bis 9.5.

Der einfache t-Test und seine Durchführung mit Hilfe der Funktion par.t.test() wurde bereits in der R-Box » t-Test für einzelne Parameter « (S. 109) besprochen. Die dort getestete Hypothese bezog sich auf einen einzelnen Parameter. Da wir inzwischen Modelle mit mehreren Steigungsparametern schätzen können, reicht eine solch einfache Hypothese oftmals nicht aus. Insbesondere könnte es notwendig sein, eine Linearkombination von zwei oder mehr Parametern des Modells auf einen bestimmten q-Wert zu testen. Die Umsetzung eines solchen Tests in R wird in der R-Box » t-Test einer Linearkombination « vorgestellt. In Aufgabe 10.1 kann das Erlernte gleich ausprobiert werden.

Prognosen im Rahmen der Mehrfachregression unterscheiden sich nur unwesentlich von Prognosen im Rahmen der Einfachregression. Die in der R-Box 7.1 (S. 118) vorgestellte Funktion ols.predict() lässt sich deshalb auch in der Mehrfachregression wieder nutzen. Dies wird nachfolgend in der R-Box »Prognose in der Mehrfachregression « erläutert. Die wichtigste Neuerung in diesem Kapitel ist, dass wir Regressionsmodelle zulassen, deren endogene Variable mit dem natürlichen Logarithmus transformiert wurde. Solche endogenen (und auch exogenen) Variablen können gleichermaßen in Einfach- und Mehrfachregressionen vorkommen. In jedem Fall entsteht bei der Rücktransformation der zu prognostizierenden Werte der endogenen Variable in die ursprüngliche Einheit eine Verzerrung, die es zu korrigieren gilt. Wie dies mit der bereits verwendeten Funktion ols.predict() ganz leicht bewerkstelligt werden kann, zeigen wir ebenfalls in der R-Box »Prognose in der Mehrfachregression «. Angewendet werden diese Erkenntnisse in der Aufgabe 11.1. In der anschließenden Aufgabe 11.2 wird ausprobiert, wie mehrere Prognosewerte gleichzeitig berechnet werden können.

Bislang haben wir die Schätzergebnisse einer KQ-Schätzung hauptsächlich in der von der ols()-Funktion erzeugten Tabellenform wiedergegeben. Wir hatten auch darauf hingewiesen, dass die Funktion summary() eine Alternative darstellt. Mit dieser Funktion könnten wir uns zudem einige statistische Kennzahlen des verwendeten Datensatzes anzeigen lassen.

Das Kapitel widmet sich der korrekten Auswahl der exogenen Variablen. In Aufgabe 13.1 werden zunächst die Konsequenzen aus einer fehlerhaften Variablenauswahl untersucht. Für die Variablenauswahl stehen verschiedene Kennzahlen zur Verfügung, darunter auch einige sogenannte Informationskriterien. Ihre Nutzung wird in der R-Box » Informationskriterien « (S. 173) erläutert. In Aufgabe 13.2 werden sowohl diese Informationskriterien als auch andere wichtige Instrumente der Variablenauswahl angewendet.

Annahme A2 fordert, dass der wahre Zusammenhang zwischen der endogenen Variablen yi und den exogenen Variablen x1i , x2i , . . . , xKi linear ist. In diesem Kapitel wird untersucht, wie man mit R Nicht-Linearitäten diagnostizieren kann, welche Konsequenzen diese Annahmeverletzung hat und wie man mit ihr umgeht.

Die Erzeugung von Grafiken gehört sicherlich nicht zum Pflichtkanon der Ökonometrie-Ausbildung. Warum eröffnen wir dieses Kapitel dennoch mit der R-Box »Grafiken gestalten und exportieren «? Grafiken dienen in vielen Fällen der Veranschaulichung und helfen bei der Analyse formaler Zusammenhänge. Die Identifizierung von nicht-konstanten Parameterwerten bzw. Strukturbrüchen ist ein solcher Fall. Daher geben wir zunächst eine kurze Einführung in das Gestalten und Exportieren von Grafiken und wenden anschließend die neu erworbenen Grafik-Kenntnisse in Aufgabe 15.1 an.

Weicht der Erwartungswert der Störgrößen von Null ab, schränkt das die Aussagekraft unserer ökonometrischen Schätzungen erheblich ein. Eine mögliche Ursache für E(ui) 6= 0 sind konstante Messfehler bei der Erfassung der Daten. Aufgabe 16.1 ist diesem Thema gewidmet.

Das Kapitel widmet sich dem Fall heteroskedastischer Störgrößen, also Störgrößen, welche die Annahme der Homoskedastizität verletzen. In Aufgabe 17.1 geht es vor allem um die grafische Veranschaulichung heteroskedastischer Störgrößen. Die RBox » Datensätze umsortieren « (S. 231) erläutert, wie die Elemente von Vektoren oder Dataframes nach bestimmten Kriterien umgeordnet werden können. Diese Möglichkeit wird uns helfen, Aufgabe 17.2 zu bearbeiten, in der ein Goldfeld- Quandt-Test zur Diagnose von Heteroskedastizität durchgeführt wird.

Wenn man mit Zeitreihendaten arbeitet, stellen die Residuen but einer KQSchätzung eine zeitliche Sequenz geschätzter Störgrößen ut dar, wobei t der Beobachtungsindex ist (statt i). Oftmals zeigt sich in solchen KQ-Schätzungen eine statistische Abhängigkeit zwischen but und but−1, welche auf einen autoregressiven Prozess erster Ordnung, kurz AR(1)-Prozess, in den Störgrößen ut hindeutet. Ein solcher Prozess ist durch die Beziehung

In diesem Kapitel geht es ausschließlich um die Frage, ob die Störgrößen des zu untersuchenden Regressionsmodells normalverteilt sind, ob also Annahme B4 erfüllt ist. Ein populärer Test ist in diesem Zusammenhang der Jarque-Bera-Test. Seine Umsetzung in R wird in der R-Box » Jarque-Bera-Test « erläutert. Angewendet wird der Test in Aufgabe 19.1, in welcher auch grafische Hilfsmittel zur Überprüfung der Normalverteilungsannahme vorgestellt werden. In der anschließenden R-Box »Wahrscheinlichkeitsverteilungen grafisch darstellen « erlernen wir, wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen grafisch angezeigt werden können. In Aufgabe 19.2 probieren wir diese Möglichkeiten aus.

Besteht in einer Regressionsgleichung zwischen mindestens einer exogenen Variablen und der Störgröße eine kontemporäre Korrelation, dann liefert die KQMethode verzerrte und nicht-konsistente Ergebnisse. Stattdessen sollte eine zweistufige KQ-Schätzung eingesetzt werden (ZSKQ-Schätzung). Sie ist ein Spezialfall der Instrumentvariablen-Schätzung (IV-Schätzung). In der Aufgabe 20.1 wird eine ZSKQ-Schätzung mit Hilfe unserer bisherigen R-Kenntnisse durchgeführt. Wie die ZSKQ-Schätzung in R noch bequemer umgesetzt werden kann, wird in der R-Box » Zweistufige KQ-Schätzung « erläutert. In der anschließenden Aufgabe 20.2 wird das neue Verfahren gleich ausprobiert. Eine weitere Anwendung bietet die Aufgabe 20.3

Das Kapitel widmet sich den Problemen, die aus der Korrelation zwischen den exogenen Variablen erwachsen. In Aufgabe 21.1 wird veranschaulicht, dass die Berechnung der paarweisen Korrelationen nicht ausreicht, um einen Eindruck von der tatsächlich vorherrschenden Multikollinearität der exogenen Variablen zu erhalten. Die anschließende R-Box »Korrelationstabelle « (S. 282) stellt eine Funktion vor, welche auf einfache Weise einen Eindruck von der Multikollinearität in den Daten vermittelt. Aufgabe 21.2 nutzt diese Funktion und widmet sich der KQ-Schätzung von Modellen mit multikollinearen exogenen Variablen sowie der restringierten KQ-Schätzung.

Dynamische Regressionsmodelle werden eingesetzt, wenn eine oder mehrere exogene Variablen nicht nur einen unmittelbaren, sondern auch einen zeitlich verzögerten Einfluss auf die endogene Variable ausüben. Ein Beispiel wird in Aufgabe 22.1 betrachtet. Dieses wird auch in Kapitel 22 des Lehrbuches behandelt, wo auch die grundlegenden theoretischen Konzepte dargestellt sind. Ein einfaches grafisches Hilsmittel für die Prüfung der Stationarität von Zeitreihen wird in der R-Box » Stationarität grafisch prüfen « (S. 288) vorgestellt und in der mit Scheinkorrelation befassten Aufgabe 22.2 gleich ausprobiert. Die R-Box » Datenlücken« (S. 292) gibt ein paar Hinweise für den Umgang mit unvollständigen Datensätzen. Eine einfache Anwendung bietet die Aufgabe 22.3. Die abschließende Aufgabe 22.4 widmet sich dem Fehlerkorrekturmodell.

Viele Wirkungszusammenhänge besitzen eine komplexe Kausalitätsstruktur, die sich nicht durch eine einzelne Regressionsgleichung darstellen lässt. Notwendig sind dann interdependente Gleichungssysteme. Wie solche Systeme zu interpretieren und zu schätzen sind, ist Gegenstand der Aufgabe 23.1. In der R-Box »Große Datensätze durchsuchen« (S. 301) wird erläutert, wie man in großen Datensätzen die Positionen identifiziert, welche ein für die Analyse interessierendes Merkmal aufweisen. Eine Anwendung im Kontext interdependenter Gleichungssysteme findet sich in der Aufgabe 23.2. Auch die abschließende Aufgabe 23.3 widmet sich der Interpretation und Schätzung solcher Gleichungssysteme

Mit den Instrumenten der Ökonometrie ist man in der Lage, Hypothesen empirisch zu testen, die ansonsten nur einer logischen Prüfung unterzogen werden könnten. Wenn geeignete Daten zur Verfügung stehen, lässt sich untersuchen, ob das Einkommen einen Einfluss auf die Lebenszufriedenheit hat. Sollte sich dieses Resultat in der empirischen Untersuchung einstellen, wäre es ein starker Beleg für die Ungültigkeit der Postmaterialismus-Hypothese.

Lösung zu Aufgabe 2.1: A-, B- und C-Annahmen a) Folgende Annahmen könnten verletzt sein: (a) a1 (kein erkennbarer Zusammenhang) (b) a2 (nicht-linearer Zusammenhang) und a3 (Strukturbruch) (c) b2 (Heteroskedastizität)

Lösung zu Aufgabe 3.1: Trinkgeld (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 4.1: Trinkgeld-Simulation (Störgröÿen Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 5.1: Trinkgeld (Teil 4)

Lösung zu Aufgabe 6.1: Trinkgeld (Teil 6)

Lösung zu Aufgabe 7.1: Prognoseintervall versus Konfidenz- und Akzeptanzintervall

Annahme A1 fordert, dass das Modell keine irrelevanten Variablen enthält und keine relevanten fehlen. Das gilt für die Fälle K = 1 und K > 1 gleichermaßen. Annahme A2 setzt eine lineare Beziehung zwischen der endogenen und den exogenen Variablen voraus und Annahme A3 verlangt konstante Parameter des Modells über alle Beobachtungen. Auch im Hinblick auf diese beiden A-Annahmen besteht kein Unterschied zwischen den Fällen K = 1 und K > 1.

Lösung zu Aufgabe 9.1: Dünger (Teil 2)

Lösung zu Aufgabe 10.1: Dünger (Teil 5)

Lösung zu Aufgabe 11.1: Dünger (Teil 7)

Lösung zu Aufgabe 12.1: Deskriptive Zusammenfassungen von Datensätzen

Lösung zu Aufgabe 13.1: Lohnstruktur (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 14.1: Milch (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 15.1: Reform der Hartz-IV-Gesetze (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 16.1: Produktion von Kugellagern

Lösung zu Aufgabe 17.1: Mietpreise (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 18.1: Simulation von AR(1)-Prozessen

Lösung zu Aufgabe 19.1: Pro-Kopf-Einkommen

Lösung zu Aufgabe 20.1: Versicherungsverkäufe (Teil 1)

Lösung zu Aufgabe 21.1: Perfekte Multikollinearit

Lösung zu Aufgabe 22.1: Anpassung des Personalbestands

Wenn in Gleichung (A23.1) die Störgröße ut einen positiven Wert annimmt, fällt dort at besonders hoch aus. Besitzt at in Gleichung (A23.2) einen positiven Einfluss auf wt, dann fällt auch wt besonders hoch aus. Diese Variable steht aber als exogene Variable in Gleichung (A23.1). Sie ist dort also positiv mit ut korreliert. Ein analoges Argument gilt für vt und at in Gleichung (A23.2).